- הבעיה מבקשת לקבוע האם זרימה של נוזלים בלתי דחיזים יכולה ליצור סינגולריות שבהן המהירות או הלחץ הם אינסופיים.
- OpenAI הציגה פתרון אפשרי באמצעות סוכני בינה מלאכותית, למרות שיש מחלוקות חזקות לגבי גניבת דעת של עבודות של מתמטיקאים ספרדים.
- הפתרון המלא כרוך בהוכחת הסדירות הגלובלית וקיומם של פתרונות חלקים, אתגר המקשר בין מתמטיקה טהורה לפיזיקה של טורבולנציה.
דמיינו לעצמכם שאתם מנסים לחזות בדיוק כיצד כל טיפת מים תנוע בנהר או את הריקוד הגחמני של עשן סיגריות באוויר. זה נראה כמו משימה פשוטה, אבל במציאות, אנו עומדים בפני אחד האתגרים המתמטיים המפחידים ביותר בהיסטוריה, המכונה בעיית נאווייר-סטוקס. אתגר זה אינו רק קוריוז אקדמי; זוהי אחת משבע בעיות פרס המילניום, שעבורן הציע מכון קליי למתמטיקה מיליון דולר לכל מי שיוכל לפתור את המשוואות הללו - תחום בסיסי עבור אלו הלומדים מדעים פורמליים.
הסיפור מחזיר אותנו למאה ה-19, כאשר הצרפתי קלוד-לואי מארי נאווייר והאירי ג'ורג' גבריאל סטוקס הניחו את היסודות של מודל זה. מטרתם הייתה לתאר זרימת נוזלים, תוך התמקדות מיוחדת בנוזלים בלתי דחיזים - אלו שצפיפותם אינה משתנה גם כשהם נעים, כמו דם בעורקינו או חלב בכוס. לב העניין הוא האם משוואות אלו תמיד מתקיימות או שהן יכולות "להתפרק", וליצור סינגולריות - נקודות שבהן המהירות או הלחץ הופכים לאינסופיים והמודל מפסיק להיות שימושי לחיזוי העתיד.
תעלומת הסדירות והסינגולריות
כדי לזכות בפרס, חישובים מקורבים אינם מספיקים; נדרשת הוכחה מתמטית קפדנית לקיומם ולסדירותם של הפתרונות. במילים פשוטות יותר, יש להוכיח האם הנוזל מתנהג בהדרגה וברציפות או שמא, להיפך, הוא יכול לשנות כיוון בפתאומיות עד אינסוף. הבעיה מחולקת לארבעה משפטים טכניים (A, B, C ו-D). ארבעת הראשונים מתמקדים בסדירות הכוללת ללא כוחות חיצוניים, בעוד שארבעת האחרונים מנתחים מה קורה כאשר כוחות חיצוניים נוכחים והאם אלה יכולים לגרום לקריסה מתמטית של המערכת.
כאן נכנסת לתמונה טורבולנציה , אותו כאוס לכאורה שמשגע מהנדסים ופיזיקאים. בעוד שמתמטיקאי מחפש פתרון ייחודי וחלק, מהנדס מעדיף מודלים חישוביים המאפשרים לו לתכנן כלי טיס תוך שעות ספורות בלבד. פער זה ביעדים מדגים שהבעיה היא קרחון של מורכבות שבו סדירות פיזיקלית ודיוק מספרי שזורים זה בזה.
עליית הבינה המלאכותית והמחלוקת סביב OpenAI
לאחרונה, עולם המדע נדהם מהכרזה של OpenAI. החברה טוענת כי פתרה את טענות ג' ו-ד' של הבעיה באמצעות אסטרטגיית סוכן בינה מלאכותית : כ-10.000 סוכנים עובדים ללא לאות במשך 88 שעות. על פי מאמרם בן 166 העמודים, הם הוכיחו כי נוזלים מאולצים (כגון מים תחת כוח הכבידה) יכולים לפתח סינגולריות. אם זה יאושר לאחר ביקורת עמיתים, הם יעמדו בקריטריונים לזכייה בפרס מיליון הדולר, אם כי הם עדיין משאירים את המקרה של נוזלים לא מאולצים פתוח.
עם זאת, לא הכל ורוד, שכן פרצה מלחמת אגו והאשמות בגניבת דעת . OpenAI נטען כי ניצלה את עבודתם הקודמת של המתמטיקאים הספרדים דייגו קורדובה ולואיס מרטינס זורואה. שני מומחים אלה מ-ICMAT עובדים על הבעיה במשך שנים, ורעיונותיהם היו בסיסיים להוכחות המרכזיות של טריסטן באקמאסטר ולבנט אלפוגה. הקהילה המדעית דנה כעת בשאלה האם OpenAI הייתה כנה לגבי המחבר האינטלקטואלי של פריצת דרך היסטורית זו.
יסודות טכניים: מנגזרות חומרים ועד סימולציה
כדי להבין את מורכבות העניין, עלינו להתעמק במורכבותן של הנוסחאות. נעשה שימוש בתיאור האוילריאני , שבו הנגזרת המהותית או החומרית משמשת למעקב אחר התנהגותו של חלקיק נוזל. זה משלב את השונות המקומית בנקודה קבועה עם הנגזרת הקונבקטיבית , שהיא השינוי הנגרם מתנועת הנוזל עצמו. זהו גוף מתמטי צפוף הכולל את משפט הטרנספורט של ריינולדס ואת משפט גאוס להמרת אינטגרלים משטחיים לאינטגרלים נפחיים.
בפועל, משוואות אלו אינן לינאריות וקשורות זו לזו באופן הדוק , מה שהופך אותן לבלתי אפשריות לפתרון בעזרת עיפרון ונייר במקרים מורכבים. זו הסיבה שאנו פונים לשיטות נומריות כמו אלמנטים או הפרשים סופיים. מעניין לציין, שלכאוס המתמטי הזה יש יישום נפוץ מאוד: משחקי וידאו . הודות לעבודה כמו זו של ג'וס סטאם, גרסאות פשוטות של משוואות נאווייר-סטוקס משמשות במעבדים גרפיים כדי ליצור אש ועשן היפר-ריאליסטיים בזמן אמת, אם כי תמיד נאבקות בפיזור מספרי.
המסע הזה מלוחות של המאה ה-19 לשרתי OpenAI מראה לנו שבעוד שבינה מלאכותית היא כלי רב עוצמה, האינטואיציה האנושית של מתמטיקאים כמו קורדובה ומרטינס-זורואה נותרה המנוע האמיתי של ההתקדמות. פתרון בעיה זו לא רק מביא תגמול כספי, אלא גם מספק מפתח להבנת הסערות והמגבלות של המודלים הפיזיקליים שלנו, וסוגר מעגל שהחל עם Navier וכעת מתרחב לחישוב קוונטי ובינה מלאכותית.
