資料結構與演算法：程式設計師完全指南

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演算法和資料結構就像拼圖一樣，密不可分：一個定義了解決問題的步驟，另一個決定了資訊的儲存位置和方式。這聽起來或許有些學術化，但掌握了這兩者，才能寫出真正高效、可擴展且穩定的程式碼，而不僅僅是能運行的程式碼。

如果你想從事專業程式設計工作，準備技術面試，或者只是想擺脫 LeetCode 和 Codewars 等練習題的困擾，你需要紮實的資料結構和演算法基礎。本文將介紹資料結構和演算法的定義、重要性、主要類型、基本操作，以及考試和選拔過程中常見的題型。

什麼是資料結構和演算法？

資料結構本質上是一種在記憶體中組織和儲存資訊的特定方式，以便進行高效率的操作。這種組織方式並非隨機：它直接決定了哪些操作速度快，哪些操作成本高（例如插入、搜尋、刪除、遍歷等）。

選擇正確的資料結構，程式就能輕鬆處理大量資料；選擇不當，即使是小型應用程式也會變得運行緩慢、佔用過多內存，或者隨著時間的推移變得難以維護。

演算法是一系列有限、有序且定義明確的步驟，它將輸入轉換為輸出，以解決特定問題。它就像烹飪食譜：它告訴你要做什麼、按什麼順序做以及在什麼條件下做，但它並不關心你如何將食材儲存在冰箱裡，這就是資料結構部分。

在計算機科學中，每個演算法的設計都充分考慮了它將要處理的資料類型。資料結構的選擇絕非無關緊要：結構和演算法密不可分，任何一方的微小改動都可能顯著提升或降低演算法效能。

從理論角度來看，早在 20 世紀 70 年代，像 Niklaus Wirth 這樣的作者就普及了「演算法 + 資料結構 = 程式」這一理念。幾十年過去了，這一觀點依然成立：無論你使用 Java、Python、C++ 編程，還是來自編程訓練營，在面試和重要的專案中，都需要具備有效選擇和組合演算法與資料結構的能力。

為什麼它們在程式設計中如此重要？

在任何實際應用中，無論它看起來多麼簡單，你總是在處理資料：薪資、產品、使用者、交易、路線、文件、日誌記錄等等。問題不在於你是否要處理數據，而是你將如何組織數據，才能讓你的程式碼運作速度快、清晰易懂且易於維護。

根據具體問題，資料結構用於以有條理且連貫的方式儲存資訊。存取第一個元素、按鍵搜尋、按順序迭代、中間插入或頻繁刪除等操作並非總是相同的；每種使用模式都更適合不同的資料結構。

演算法則使我們能夠有效率地處理這些資料：排序、過濾、尋找元素、尋找最優路徑、透過資料探勘發現模式、最佳化資源等等。許多看似棘手的問題，只要找到合適的演算法和資料結構組合，就能迎刃而解。

在軟體開發的技術面試中，很少會問到不直接涉及這些主題的問題。有時問題會明確提及資料結構，例如“給定一個二元樹…”，有時則是隱含的：“我們想統計每位作者的著作數量”，這暗示了可以使用哈希表或鍵值映射。

此外，正規的專業培訓通常也圍繞著這一領域。許多大學和高等教育課程都包含一門名為「資料結構與演算法」的課程，並設有正式的教學大綱、先修課程、講座和實踐課、考試和作業，因為它被認為是任何軟體工程師的核心科目。

先決條件和必要基礎

為了更好地學習資料結構和演算法，熟悉一種通用程式語言（例如Java、Python 或 C++）會很有幫助。你不需要成為專家，但應該掌握一些基本概念，例如變數、資料類型、條件語句、循環語句、函數和參數傳遞。

理解演算法複雜度和大O符號的概念也極為重要：它表示執行時間或記憶體使用量如何隨著資料規模 (n) 的增加而增加。了解 O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n) 和 O(n²) 之間的區別，可以幫助你客觀地比較不同的方案，並為你的決策提供合理的依據。

另一個重要面向是累積一些解決問題的經驗：結構化程式設計練習、小型邏輯挑戰、簡單的程式設計練習等等。你越是訓練自己將問題分解成步驟的能力，就越容易看出哪種資料結構適合每種情況。

有些課程會明確列出資料結構與演算法課程的先修或同修課程，例如已通過程式設計基礎、程式設計I或離散數學課程。這不無道理：如果沒有紮實的程式設計基礎和邏輯思考能力，很容易對這門課程感到沮喪。

最後，熟悉現實世界的實際環境（例如小型 Web 專案、腳本或控制台應用程式）有助於你更好地想像每個結構將用於什麼用途，而不是將其視為純粹的學術內容。

最常用的資料結構

在電腦科學中，資料結構種類繁多，但有一些「基本」資料結構反覆出現：陣列（向量）、堆疊、佇列、鍊錶、樹、圖、try-sum 和雜湊表。理解它們的工作原理、提供的操作以及典型的開銷是精通程式設計的關鍵。

接下來，我們將逐一回顧它們，包括它們的主要思想、典型操作以及通常在課堂、練習和開發人員求職面試中出現的問題範例。

陣列

數組是最簡單的線性資料結構，也是應用最廣泛的資料結構之一。它由一塊連續的記憶體區塊組成，用於儲存相同類型的元素集合，可透過整數索引訪問，索引通常從零開始。

想像一個大小為 4 的數組，其中包含值 1、2、3 和 4。每個位置都有一個索引（0、1、2、3），你可以直接透過索引在常數時間 O(1) 內存取任何元素。這使得數組在隨機讀取時非常有效率。

數組主要分為兩大類：一維數組（只有一行元素）和多維數組（例如矩陣，它是數組的數組）。許多程式語言都原生支援這兩種數組，或者在語法和效能上略有不同。

數組的基本操作通常包括：

• 插入：將元素放置在特定位置，在靜態陣列中，這可能涉及移動其他元素。
• 得到：存取給定索引處的元素，通常為 O(1)。
• 刪除刪除或將特定位置的元素標記為空，通常是透過將元素向左移動來實現的。
• 尺寸檢查儲存了多少個元素或陣列的最大容量。

在面試和考試中，諸如查找數組中的第二小值、查找第一個唯一整數、合併兩個已排序數組或在保持某些性質的前提下重新排列正負數等練習非常常見。所有這些練習都依賴索引存取和線性或雙向遍歷。

堆疊

堆疊是一種遵循後進先出（LIFO）原則的線性資料結構。想像一疊書，一本疊在另一本上面：你只能從最上面取書或放書。

這種行為意味著我們只能存取堆疊頂部的元素。我們無法在不先移除其上方元素的情況下移除中間元素。這使得它成為建模操作歷史（撤銷）、巢狀函數呼叫、導航（後退/前進）等的理想結構。

典型的堆疊操作包括：

• 推在頂部插入一個新項目。
• Pop提取並返回棧頂元素，從而減小棧的大小。
• 頂部或窺視：查閱頂層元素，但不要刪除它。
• 是空的檢查電池是否電量耗盡。

在面試中，會遇到諸如評估後綴表示法(RPN) 中的表達式、僅使用堆疊對元素進行排序，或者使用 push 和 pop 檢查括號（和其他符號）字串是否正確平衡等問題。

實際上，許多語言的內部實作（例如係統呼叫堆疊）都遵循這些相同的原則，即使我們看不到它們。

佇列

佇列是另一個線性資料結構，但它遵循的是先進先出（FIFO）原則，而不是後進先出（LIFO）原則。最圖像的比喻是人們在電影院售票處排隊等候的情景。

在標準隊列中，項目從末尾添加，從開頭移除。第一個進入佇列的項目會先被處理，這使得它非常適合管理待處理任務、作業系統進程、伺服器請求、列印佇列等等。

基本隊列操作包括：

• 入隊：在佇列末尾插入一個新項目。
• 出隊：移除並傳回位於開頭的元素。
• 正面或頂部：查閱第一項，無需移除。
• 是空的檢查隊列是否為空。

在程式設計挑戰中，經常會遇到這樣的問題：例如，使用兩個佇列實作一個棧，在不改變其餘元素的情況下反轉佇列的前 k 個元素，或是使用佇列的 FIFO 行為產生從 1 到 n 的二進位數。

除了基本隊列之外，還有循環隊列、優先權隊列或雙隊列（deque）等變體，它們提供了額外的操作，並在某些情況下提高了效能。

連結列表

鍊錶也是一種線性結構，但其內部結構與陣列截然不同。它不使用連續的記憶體區塊，而是由稀疏的節點組成，這些節點透過引用或指標相互連接。

每個節點通常包含兩個部分：待儲存的資料以及指向序列中下一個節點的指標（或多個指標）（如果是雙向鍊錶，則也指向前一個節點）。鍊錶透過指向其頭節點的引用進行管理，頭節點指向第一個節點；在更複雜的鍊錶中，也會維護指向尾節點的參考。

主要有兩種變體：

• 單鍊錶每個節點都只指向下一個節點；路徑通常是單向的。
• 雙向鍊錶每個節點都指向下一個節點和上一個節點，從而實現雙向遍歷和更有效率的刪除操作。

對鍊錶進行的典型操作包括：

• 插入頭部：在清單開頭插入一個新節點。
• InsertAtEnd：在末尾新增一個節點，如果該節點存在，則更新佇列。
• 刪除：刪除特定節點，並調整相鄰節點的指標。
• 刪除頭部刪除第一個節點並將頭部移動到下一個節點。
• 搜尋遍歷列表尋找特定值。
• 是空的檢查頭部是否為空，如果為空則表示清單沒有元素。

在課堂和麵試中，問題層出不窮，例如反轉鍊錶、檢測是否存在循環（通常使用“龜兔賽跑”演算法）、從末尾開始計數以獲取節點 N 或消除重複節點，並且始終要小心地操作指針。

鍊錶廣泛用於實現帶有鍊式結構的雜湊表、圖中的鄰接表以及頻繁插入和刪除項目的動態資料結構。

禁忌

樹是一種由節點和邊組成的層次結構資料結構。與一般圖不同，樹沒有環：它總是包含根節點、子節點、父節點、同級節點、葉節點、層級和子樹，其組織結構類似於「家族」或「組織結構圖」。

當我們想要表示層次關係或將一個問題分解成更小的子問題時，樹非常有用：檔案系統、選單、瀏覽器中的 DOM 結構、人工智慧中的決策樹等等。

樹木種類繁多，其中包括：

• N元樹每個節點可以有數量不等（且可能很多）的子節點。
• 平衡樹：保持分支深度相近，以避免效能下降。
• 二元樹每個節點最多有兩個子節點（左子節點和右子節點）。
• 二元搜尋樹（BST）：具有以下特性的二元樹：節點左側的所有元素都小於節點右側的所有元素（根據某種排序標準）。
• AVL樹，紅黑，2-3及其他變體這些是平衡搜尋樹，保證了插入、刪除和搜尋操作的良好複雜度限制。

在實踐中，練習中最常用的樹形是二元樹和二元搜尋樹。典型的問題包括計算樹的高度、在二元搜尋樹中找出第k個最大值、列出距離根節點一定距離的節點，或是確定特定節點的祖先節點。

此外，遍歷演算法（前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷、逐層遍歷）是許多後續過程的基礎：排序列印、表達式求值、樹的序列化和反序列化等。

圖表

圖是對樹概念的推廣，它允許存在環路以及節點之間任意的多個連接。圖由一組頂點（節點）和一組連接頂點對的邊組成，有時邊還帶有權重或成本。

圖有多種類型：無向圖（邊沒有方向，關係是雙向的）和有向圖（邊有起點和終點）。它們還可以根據權重分為加權圖和非加權圖、連通圖和非連通圖、有環圖和無環圖等等。

在程式碼中，圖通常以兩種基本方式表示：

• 鄰接矩陣：一個矩陣，其中單元格表示頂點 i 和 j 之間是否存在邊（以及連接的權重）。
• 鄰接表對於每個頂點，都會儲存一個其鄰居的列表，這在稀疏圖中可以節省記憶體。

最經典的遍歷演算法是廣度優先搜尋（BFS）和深度優先搜尋（DFS）。兩者都被用來作為解決眾多問題的基礎：例如，檢查圖是否連通、偵測環、尋找連通分量等等。

在技​​術測試中，經常會要求實作 BFS 和 DFS，檢查圖是否構成樹，計算邊的數量，或使用 Dijkstra 或 BFS 等變體在無權圖中尋找兩個節點之間的更短路徑（例如，在城市地圖上）。

字典樹或前綴樹

trie（或前綴樹）是一種樹狀資料結構，專為處理字串而優化，在處理單字字典、自動完成系統或前綴搜尋時尤其有用。

在字典樹中，每個節點通常代表一個字符，從根節點到特定節點的路徑標記整個單字。詞尾節點通常會以某種方式標記（例如，使用布林指示符），以區別於簡單的前綴。

如果我們把「top」、「thus」和「their」這三個詞存儲在字典樹中，那麼對於所有以相同字母開頭的單詞，我們將共享一部分初始路徑，從而使我們能夠以非常高效的時間按前綴進行搜索和建議，其時間與我們要查找的單詞的長度成正比，而不是與存儲的單詞總數成正比。

try 的常見操作和問題包括：計算儲存的單字數量、按字典順序列印所有單字、透過插入到 try 中對陣列元素進行排序、從一組字母生成有效單字，或建立類似於 T9 字典的結構。

在面試中，雖然這不是他們最基本的語法結構，但在從事搜尋、文字處理或建議系統的公司中，這種語法結構確實經常出現。

哈希表和哈希

雜湊是一種確定性地為每個資料分配一個數字鍵（雜湊值）的技術，這樣我們就可以使用該鍵作為內部結構（通常是數組）中的索引，在幾乎恆定的時間內儲存和檢索元素。

哈希表就是利用這種機制的資料結構。每個元素都以鍵值對的形式儲存：鍵透過雜湊函數轉換為表索引，值（或對值的引用）則儲存在索引中。之後，要進行搜索，只需重新對鍵進行哈希處理，即可訪問相應的位置。

雜湊表的效能主要取決於三個因素：所選的雜湊函數（必須合理分佈鍵以避免鍵集中）、表的大小（表的大小不足會導致大量衝突）以及處理衝突的方法（例如使用鍊錶進行連結、開放尋址等）。這與資料庫索引類似，選擇合適的索引結構可以改善搜尋和存取效能。

典型的雜湊編程練習經常要求，例如，在數組中找到對稱對，根據單個航班重建完整的旅行行程，快速檢查一個數組是否是另一個數組的子集，或者驗證兩個數組是否不相交，所有這些都利用了哈希表的近似 O(1) 搜尋。

在大多數現代語言中，即使向程式設計師提供了高級接口，映射、字典、哈希映射或哈希集結構也都是由哈希表在內部支援的。

演算法和資料結構之間的關係

資料結構的選擇直接決定了哪些演算法適用以及它們的複雜程度。例如，對無序列表進行線性搜尋演算法需要逐一遍歷元素；如果我們將資料結構改為平衡搜尋樹或雜湊表，則可以獲得更快的搜尋速度。

例如，如果需要在大型集合中重複搜尋鍵，將資料儲存在雜湊表或二元搜尋樹中，可以設計出比使用簡單無序數組快得多的搜尋演算法。同樣的道理也適用於調度或最短路徑演算法中的優先權佇列和堆。

反之，在設計演算法時，你常常會意識到你需要某些特性：索引存取、快速插入、分層遍歷、前綴搜尋等等。這些需求會引導你選擇資料結構：陣列、列表、樹、圖、雜湊表、try-it 迴圈等等。

演算法與資料結構的合理結合，正是複雜應用程式高效且可擴展的關鍵所在。如果沒有堅實的基礎，解決方案往往會變得緩慢、難以理解和維護，或者隨著資訊量的增長而無法擴展。

因此，對於任何渴望在當今就業市場中成為合格且有競爭力的程式設計師的人來說，掌握演算法和資料結構並非幾乎是必要的。

如何學習資料結構和演算法

很多人在使用LeetCode 或 Codewars等平台自學時會感到束手無策。他們通常會從「簡單」的練習開始，卻仍然不知道從何入手，最終只能看著答案卻不明白如何復現。

實用方法通常結合了幾個要素：對每種結構和演算法的良好理論解釋、視覺化範例、大量的指導練習，以及如果可能的話，來自有經驗的人的支持，以幫助你提高解決問題的能力。

在西班牙語世界，許多經驗豐富的專業人士為促進這種學習做出了貢獻。例如，一些兼具商業和教育背景的教師出版了關於程式設計基礎、Java、資料結構和基於遊戲的程式設計挑戰的書籍和課程，他們以引人入勝的方式講解這些概念，並將其應用於實際專案。

許多學院和培訓中心都會在其面向網頁開發人員或應用程式設計師的課程中加入資料結構和演算法方面的專門模組。在許多情況下，他們會強調高度實務的專案式教學方法，透過難度遞增的練習和模擬典型的技術面試題來進行教學。

如果你遇到困難，可以嘗試遵循一個結構化的學習路徑：從數組和列表開始，然後是棧和隊列，再到樹和基本圖，最後是哈希表和字典樹，始終交替進行理論解釋、小型代碼示例和大量的個人練習。

對於面試，建議不僅要複習結構，還要複習暴力演算法和相關的經典演算法（遍歷、搜尋、排序、簡單回溯、基本動態規劃），並確保你能大聲解釋為什麼你選擇特定的結構以及你的解決方案的複雜度是多少。

隨著時間的推移和一些堅持不懈的努力，起初看似難以逾越的障礙最終會變成一套熟悉的工具，當你面對新問題時，幾乎可以本能地使用它們。

對演算法、主要資料結構的工作原理以及它們之間的關係有紮實的理解，將使您能夠編寫更快、更清晰、更健壯的程序，在要求嚴格的選拔過程中打開大門，並確保您的學術和職業專案建立在堅實且面向未來的基礎之上。