- 威爾遜演算法使用循環刪除步行將迷宮生成為均勻隨機樹。
- 威爾遜模型（EOQ）計算需求和價格穩定的最佳批量，但不考慮折扣或季節性。
- 威爾遜定理用 (n−1)! ≡ −1 (mod n) 來描述質數，並且有經典的推廣。
在網路上，人們使用「Wilson」一詞的用途非常不同，這很容易讓人混淆：有用於生成迷宮的Wilson演算法，用於庫存的Wilson模型（或EOQ），以及數論中的Wilson定理。在本文中，我們將澄清所有問題，從迷宮中的原始用法開始，並仔細區分其他含義，因為 它們並不相同，也不適用於同一領域.
如果您看過迷宮自行「生長」的演示或小程序，那麼您可能已經遇到過威爾遜演算法。您也聽過用來計算經濟訂購量的威爾森模型，甚至聽過用階乘來刻畫素數的定理。這裡有完整的解釋和示例，您可以 您可以識別每個概念並正確使用它.
威爾遜迷宮演算法是什麼？
Wilson 演算法是一種基於循環擦除隨機遊走的迷宮產生方法。它最大的優點在於，它能夠在網格上產生均勻的隨機生成樹：簡單來說， 每個可能的迷宮出現的機率相同，不偏向特定的方向或模式。
其核心思想是，路徑會被添加到已構建的集合中，但當隨機遊走與自身相交時，循環會被“刪除”，路線會從中斷處繼續。這項細節可以防止創建冗長、冗餘的路徑或循環，從而保持樹狀結構連接所有單元。最終結果是一個「公平」的迷宮： 沒有一條走廊或轉彎比其他走廊或轉彎具有統計優勢.
社群創建了一些專案和小程序，以視覺化且極具娛樂性的方式展示了該演算法的實際運作。其中，Cruz Godar 開發的一些小程式特別突出，你可以選擇網格大小並進行設置，觀察迷宮是如何一步步出現的。觀察它的運作有助於你理解其中的原理。 循環擦除使機率均等 在圖的每個延伸中。
建造和解迷宮雖然看起來像遊戲，但實際上與搜尋和優化問題密切相關。設計迷宮需要在清晰度和趣味性之間取得平衡，避免瑣碎的解決方案或死胡同； 探索有限的空間 具有巨大的組合。因此，無論是在紙面上還是在數位模擬中，它們都作為 很好的邏輯、機率和耐心的練習.
工作原理（實際操作）
以下是該演算法的高階描述，雖然沒有程式碼，但包含理解其行為的基本機制。記住，目標是建造一棵連接所有單元的樹（無環），使得 任一對點之間只有一條簡單路徑.
- 它從一個空網格開始：隨機選擇一個單元格並將其標記為樹的一部分。
- 隨機選擇另一個單元格，開始逐步隨機遊走，如果路徑與自身相交，則立即刪除循環（循環擦除）。
- 當步行到達已經生成的樹時，整個細化的路徑（沒有循環）就會「黏」到樹上。
- 它重複：我們選擇一個新的未連接的單元，循環刪除並加入樹。
- 最後，所有單元格都連接起來，迷宮是一個均勻隨機生成樹，因此 沒有方向或拓樸偏差.
與其他方法（如 Aldous–Broder、 拘謹的 或適用於迷宮的 Kruskal 演算法），Wilson 演算法因其生成樹採樣的均勻性而脫穎而出。在典型的網格上，它的計算成本合理，最重要的是， 確保每個解決方案都具有相同的機率，在學術和模擬環境中受到高度讚賞。
其他意義：威爾遜模型或 EOQ（庫存）
在物流領域，「威爾遜模型」（也稱為 EOQ，即經濟訂購量；或 CEP，即經濟訂購量）與迷宮無關。它是一種經典的確定最優訂貨量的方法，目標是最小化總庫存成本。該模型由 R.H. Wilson 於 1934 年推廣，儘管 第一個提議是由福特惠特曼哈里斯於 1913 年提出的.
其目的是找到平衡訂貨成本和庫存成本的批量Q。根據年度需求量（D）、每筆訂單成本（K）以及每單位每期的倉儲成本（G），在假設框架內，得出一個量： 降低總庫存成本.
最常見的公式是 Q = √(2 D K/G)。由此可得出批量大小；由此可得出年度訂單數量 D/Q，並由此推導出時間節奏。設定再訂貨點（考慮前置時間）和安全庫存也很重要，以避免缺貨，儘管 基本公式沒有考慮不確定性 明確地。
典型應用：用於原料或任何能夠可靠地確定採購和倉儲成本的商品。實際上，如果已知D、K和G，且可靠性足夠高， 該公司可以調整批次大小並安排供應 具有更好的控制力。
威爾遜模型的假設、優點和局限性
假設對於結果的有效性至關重要。 EOQ模型假設需求恆定且已知，單價保持穩定，倉儲成本已知且取決於庫存水平，供應時間恆定，此外， 不考慮批量折扣.
- 穩定、獨立的需求，沒有季節性或突然的高峰。
- 在分析期間內，購買價格固定或幾乎沒有變化。
- 已知每單位和每期間的儲存成本。
- 無數量折扣，且不立即或持續補貨。
主要優勢：它易於實施，應用廣泛，並有助於根據自身情況最大限度地降低訂購和庫存成本。其優點包括減少庫存積壓，降低缺貨風險（如果設定了再訂貨點和安全庫存），以及提高採購計畫的清晰度。許多組織重視它，因為 提供簡單的數位基礎來決定訂購多少.
缺點：它不適用於季節性或不規則需求，忽略批量折扣，並假設立即（或固定）補貨，這在許多供應鏈中是不切實際的。因此，在豐田集團等企業中，EOQ公式已被更強大的系統（如看板或準時制）所取代，這些系統 它們能更好地處理實際變化 以及連續流動。
EOQ 的實際例子（Wilson）
範例 1（典型）：一家年產量為 10.000 單位的公司購買了 1.000 公斤原料。假設每筆訂單成本為 200 歐元，年度總倉儲成本為 2.000 歐元，則應用公式 Q = √(2 D K/G)，其中 D = 1.000，K = 200，G = 2.000，得出 Q ≈ 14,14。這意味著批次為 14 公斤，每年約有 71 份訂單。這是一個說明性練習，透過適度的數字，我們可以看出 批量如何平衡訂單和庫存.
範例 2：Sillas Grandes World SL 經銷 6.000 張椅子 (D)，每份訂單成本為 300 歐元 (K)，每件家具每年的倉儲費為 5 歐元 (G)。應用公式 Q ≈ 848,52，則該公司每年約有 7,07 份訂單。按此批量，該公司 趨向於更有效率的庫存水平，在不增加訂單準備成本的情況下降低倉儲成本。
除了公式之外，計算再訂貨點時最好考慮交貨週期和安全庫存，因為純模型沒有考慮不確定性。它也沒有估算批量折扣的影響，而批量折扣有時會 可以抵銷股票成本 如果使用更大的批次。
不要與威爾森定理（數論）混淆
威爾森定理屬於 模運算 其本質是說整數 n > 1 為質數當且僅當 (n − 1)! ≡ −1 (mod n)。 “若 n 為質數，則 (n − 1)! ≡ −1 (mod n)”這個蘊涵式通常被嚴格地稱為“威爾遜定理”，其逆蘊涵式也成立。歷史上，愛德華·沃林 (Edward Waring) 將此結果歸功於約翰·威爾遜 (John Wilson) (1770)，儘管已知的第一個證明是由拉格朗日 (Lagrange) (1771) 給出的，事實上， 配方可追溯到 11 世紀的阿爾哈森.
具體例子：對於 p = 11，將集合 {1, 2, …, p − 1} 中的每個元素與其乘法逆元組合在一起，總乘積為 ≡ −1 (mod p)。除 1 和 p − 1 外，所有因數均等地抵消，即 g g^{-1} ≡ 1，因此 10! ≡ −1 (模 11)此方法利用了 p 為質數，(Z/pZ)^× 是乘法群，每個元素（1 和 p − 1 除外）都有不同的逆。
有幾種證明方法。多項式方法考慮 g(x) = (x − 1)(x − 2)···(x − (p − 1)) 和 f(x) = g(x) − (x^{p−1} − 1)。如果模 p，f(x) 不是零多項式，則最多有 p − 2 個根；但根據費馬小定理，所有 1, 2, …, p − 1 都使 f(x) 消失。因此，f(x) 恆等式為 0 mod p，且獨立項可得 (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
它不被用作實際的素數測試，因為對於較大的 n 計算 (n − 1)! mod n 成本很高，而且存在更快的測試（例如 Miller-Rabin 或特定範圍的確定性測試）。即便如此，推導有用的屬性還是很有用的：例如，如果 p = 2n + 1 是質數，則我們有 ∏_{j=1}^{n} j^2 ≡ (−1)^{n+1} (mod p)。並且，作為部分推論，如果 p ≡ 1 (mod 4)，則 −1 是模 p 的二次剩餘，因為當 p = 4k + 1 時，它可以寫成乘積 1 2 2k 的平方，這 顯示當 −1 為平方時 在 Z/pZ 中。
還有一個實際的「逆」：對任意合數 n > 5，n 能整除 (n − 1)! 為真。 n = 4 的情況是典型的例外（3! 不是 4 的倍數）。理解這一點的一種方法是計算能整除 n 的質數 q 的冪：在 (n − 1)! 中，有足夠多的 q 倍數來覆蓋 n 中出現的冪，除了上述例外，即 除 n = 4 外，得出以下結果.
高斯推廣了這個定理：所有單位模 n 的乘積，∏_{1≤a 它是 2 階元素.
(n − 1)! mod n 的說明表，其中 n = 2…30
下表中可以看到 n 在 2 到 30 之間的具體值。對於質數 n，(n − 1)! 除以 n 的餘數等於 n − 1（即 ≡ −1 mod n）。在合數中，餘數通常為 0。為了方便比較，也包含了 −1 mod n。這些數據很好地說明了威爾森定理在小情況下的表現，並有助於 修復直覺.
| n > 1 | （n − 1）！ | (n − 1)! 模 n | −1 模 n |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 2 | 2 |
| 4 | 6 | 2 | 3 |
| 5 | 24 | 4 | 4 |
| 6 | 120 | 0 | 5 |
| 7 | 720 | 6 | 6 |
| 8 | 5040 | 0 | 7 |
| 9 | 40320 | 0 | 8 |
| 10 | 362880 | 0 | 9 |
| 11 | 3628800 | 10 | 10 |
| 12 | 39916800 | 0 | 11 |
| 13 | 479001600 | 12 | 12 |
| 14 | 6227020800 | 0 | 13 |
| 15 | 87178291200 | 0 | 14 |
| 16 | 1307674368000 | 0 | 15 |
| 17 | 20922789888000 | 16 | 16 |
| 18 | 355687428096000 | 0 | 17 |
| 19 | 6402373705728000 | 18 | 18 |
| 20 | 121645100408832000 | 0 | 19 |
| 21 | 2432902008176640000 | 0 | 20 |
| 22 | 51090942171709440000 | 0 | 21 |
| 23 | 1124000727777607680000 | 22 | 22 |
| 24 | 25852016738884976640000 | 0 | 23 |
| 25 | 620448401733239439360000 | 0 | 24 |
| 26 | 15511210043330985984000000 | 0 | 25 |
| 27 | 403291461126605635584000000 | 0 | 26 |
| 28 | 10888869450418352160768000000 | 0 | 27 |
| 29 | 304888344611713860501504000000 | 28 | 28 |
| 30 | 8841761993739701954543616000000 | 0 | 29 |
應用、限制和建議
如果您想產生無偏迷宮，請使用威爾遜演算法：它基於隨機遊走和循環刪除演算法，確保樹的均勻性。對於庫存而言，當需求、價格和成本穩定且精確已知時，威爾遜模型非常有用；在波動的環境中，看板、JIT 或高級計劃軟體等方法可能更合適。在數學中，威爾森定理是一顆理論瑰寶，擁有一些有趣的推導過程（例如二次剩餘），但 作為素數測試並不實用 對於大數字。
計算訂貨和倉儲成本沒有「一刀切」的公式：每家公司都必須分解工時、流程、運輸、收貨、人員、租金、能源、保險和財務成本。許多專業人士會估算每道工序的工時，然後採用小時費率來獲利。這種客製化是確保計算出的Q值實用的關鍵，並且，結合合理的再訂貨點和安全庫存， 避免缺貨或庫存過剩.
值得記住的是，搜尋中的「威爾森演算法」通常指的是迷宮生成器，而「威爾森模型」或「EOQ」指的是庫存，「威爾森定理」指的是數論。從一開始就區分它們可以避免混淆，並讓您更好地利用每種方法： 無偏迷宮、現實假設下的最佳批次、質數的優雅表徵 儘管這不是一個實用的素數測試，但它仍然是數學難題中一個有價值的部分。
